命題３
第１の量は第２の同倍数で同じように第３は第４の同倍数で、同倍数は第１と第３から取られるならば、取られた量もまたそれぞれ前者は第２の後者は第４の同倍数である。
第１の量Aを第２の量Bの同倍数とし第３の量Cを第４の量Dの同倍数とし、EFとGHの同倍数をAとCから取るとする。definitionⅤ．２
EFはBの同倍数でありGHはDの同倍数であることをいう。
EFはAの同倍数でありGHはCの同倍数であるから、それゆえにEFの中にAと等しい量があり同じようにGHの中にCと等しい量がある。
EFをAと等しいEKとKFに分け、GHをCと等しいGLとLHに分ける。EKとKFの量の個数はGLとLHの量の個数に等しい。
そして、AはBの同倍数でありCはDの同倍数であるから、EKがAと等しくGLがCと等しいとき、それゆえにEKはBの同倍数でありGLはDの同倍数である。
同じ理由でKFはBの同倍数でありLHはDの同倍数である。
第１の量EKは第２の量Bの同倍数であり、第３の量GLは第４の量Dの同倍数であり、第５の量KFは第２の量Bの同倍数であり、第６の量LHは第４の量Dの同倍数であるから、それゆえに第１の量と第５の量の和EFは第２の量Bの同倍数であり、第３の量と第６の量の和GHは第４の量Dの同倍数である。propositionⅤ．２
それゆえに、第１の量は第２の同倍数で同じように第３は第４の同倍数で、同倍数は第１と第３から取られるならば、取られた量もまたそれぞれ前者は第２の後者は第４の同倍数である。
証明終了